Abi Klasse 9
Wie ist das mit der Wahrscheinlichkeit?
Ich habe eine Münze, die hat 2 Seiten. Wenn ich die hochwerfe, dann gibt es 2 Möglichkeiten, wie sie fallen kann. Es kann Kopf oder Zahl oben liegen. Wahrscheinlich ist es so, dass in der Hälfte der Fälle die Zahl oben liegt, in der anderen Hälfte der Fälle der Kopf.
Das heißt 50% der Fälle Zahl, 50% der Fälle Kopf, oder ½ Zahl und ½ Kopf.
Und das heißt: Wenn ich auf Kopf wette, dann sollte ich bei jedem 2. Mal gewinnen. Oder in 50% der Fälle. Wenn wir 10x die Münze werfen, dann kann ich darauf hoffen, dass ich 5x gewinne.
Wie ist das nun aber, wenn ich darauf wetten möchte, dass 2x hintereinander Kopf oben liegt?
Nun, beim ersten Wurf wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit 50% beträgt. Beim zweiten Mal auch wieder.
Und so ein „Experiment“ nennt man MEHRSTUFIG. Bei einem mehrstufigen Experiment, werden die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Stufen mulitpliziert.
Das heißt dann: ½ x ½ = ¼
Und das heißt: in 25% der Fällen, werde ich gewinnen.
Nun wird es spannend!
zu einer Party kommen 5 Gäste. Und ich habe 5 Stühle. Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit, dass ich richtig rate, in welcher Reihenfolge sich die Leute setzen?
Man kann probieren:
Auf dem 1. Stuhl könnten 5 verschiedene Leute Platz nehmen.
Wenn der erste Stuhl besetzt ist, habe ich noch 4 Stühle und 4 Gäste. Auf dem 2. Stuhl könnten also noch 4 verschiedene Leute Platz nehmen.
Ist der besetzt bleiben 3 Stühle und 3 Gäste.
Für den 3. Stuhl gibt es also noch 3 mögliche Gäste.
Und so weiter.
Schauen wir noch einmal oben: Für den ersten Fall gibt es 5 Möglichkeiten, für den zweiten Fall 4, den dritten 3, den vierten noch 2 und für den 5. gar nur eine Möglichkeit.
Das können wir mal ausschreiben:
1 zu 5 heißt: 1/5 oder 0,2
1 zu 4 heißt: ¼ oder 0,25
1 zu 3 heißt: 1/3 oder 0,33
1 zu 2 heißt ½ oder 0,5
und 1 zu 1 heißt: 1 oder 1.0
Was haben wir gelernt über Sachen, die nacheinander stattfinden, so Stufe um Stufe?
In einem mehrstufigen Experiment, werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert!
Na dann!
0.2 x 0.25 x 0.33 x 0.5 x 1 = 0.00825
Das heißt ich müsste mehr als 100x raten, um dann richtig zu liegen.
Die Wahrscheinlichkeit alles richtig geraten zu haben liegt bei 0,00825
Wieso das denn? Wie viele Möglichkeiten der Anordnung gibt es denn?
Und jetzt sind wir schon bei der Permutation!
Wie viele Möglichkeiten gibt es eine Zahl von Elementen anzuordnen, wenn Folgendes gilt?
Jede mögliche Anordnung von n Elementen, in der alle Elemente verwendet werden, heißt Permutation P dieser Elemente. Zur besseren Übersicht folgt nun eine Liste an Voraussetzungen, die dafür erfüllt sein müssen:
- Alle Elemente der Ausgangsmenge unterscheiden sich voneinander.
- Es müssen alle Elemente ausgewählt werden.
- Ein Element kann nicht mehrmals ausgewählt werden.
Die Formel zur Berechnung dafür lautet: P = n! ( P ist-gleich n-Fakultät )
5!= 5x4x3x2x1= 120
Stimmt das denn? 0,00825 x 120 = 0.99 (also rund 1) Wenn ich also 120 mal rate, dann werde ich 1 mal richtig liegen!
Geht alles mit rechten Dingen zu, so reden wir von einem Laplace-Experiment!
Durch Einsatz der Laplace Regel kann man nun die Wahrscheinlichkeit für ein Laplace Experiment berechnen. Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ergebnisses berechnet sich nach der folgenden Formel:
Beispiel:
Wir werfen einen sechsseitigen Würfel und möchten verschiedene Wahrscheinlichkeiten bei dem Versuch berechnen:
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 3 zu Würfeln?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, entweder eine 2 oder 5 zu Würfeln?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Zahl zu Würfeln?
Lösung:
Wir wissen, dass der Würfel sechs gleiche Seiten hat. Somit können als Ergebnis beim Würfeln die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 geworfen werden. Die Anzahl der möglichen Ergebnisse beträgt somit "6". Kommen wir nun zu den drei Teilaufgaben:
- P({3}) = 1 : 6 = 0,1666...
- P({2, 5}) = 2 : 6 = 0,33333...
- P({1, 3, 5}) = 3 : 6 = 0,5
Nun könnte man sich ja auch mal fragen, ob man eine Chance hat aus einer Menge von Möglichkeiten die richtigen Möglichkeiten zu erwischen.
Zum Beispiel beim Lotto.
ich habe eine Menge von 49 Zahlen, und möchte da die 6 richtigen Zahlen draus ziehen. Die gezogene Zahl wird nicht mehr zurück gelegt.
Dann bin ich beim Binomialkoeffizienten:
Der Binomialkoeffizient gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kann.
Binomial? Binomisch?
Damit hat es was zu tun!
(x+y) x (x+y) = (x+y)² oder x² + xy + yx + y² oder x² +2xy +y²
und für viele Möglichkeiten:
Oder anders: Es gibt n Möglichkeiten und ich darf k mal ziehen:
Als Grundwissen für Wahrscheinlichkeiten, gibt das schon einmal einen guten Überblick!
